考点解析 正弦、余弦、正切函数的图象及其主要

2019-06-16 作者:教育资讯   |   浏览(98)

  )描点法:关键是选定一个周期,把这个周期分成四等份,根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点,确定函数图象的大致形状;

  注意:①的图象叫正弦曲线;②作图象时自变量要用弧度制;③在对精确度要求不太高时,作的图象一般使用“五点法”。

  (2)周期性:正弦函数具有周期性,这可由诱导公式来推导,其最小正周期是。函数的最小正周期是;

  函数周期性的定义:对于函数y=,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数y=就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期。

  如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做函数y=的最小正周期。

  (1)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期;

  (2)函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期;

  (1)由函数可知,用平移变换法可以得到余弦函数的图象,也可以使用“五点法”得到,同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。

  (1)正切函数的定义域不是全体实数,这与正、余弦函数的定义域为全体实数有着较大的差别;

  (3)正、余弦函数是连续函数,反映在图象上是连续无间断的点;而正切函数在定义域上不连续,它有无数条渐近线(垂直于x轴的直线),其图象被这些渐近线)正、余弦函数的图象既是中心对称图形(对称中心分别为

  );而正切函数的图象只是中心对称图形,其对称中心为;(5)正、余弦函数既有单调递增区间,又有单调递减区间;而正切函数只有单调递增区间,即正切函数

  :由正弦、余弦函数图象可以确定出的取值范围,进而可求。求出的范围后,也可以根据正弦、余弦、正切、余切函数图象的特点比较大小。

  利用函数周期性的定义和最小正周期的概念来解题。,的最小正周期是;的最小正周期是。

  解此题的关键是统一函数的名,然后利用换元法将其视为二次函数求解。在做题时,有时会出现形如y=asin2x+bcosx+c型的函数,其实质同本例的情况一样,特点是式中同时含有sinx与cosx,且其中一个是二次,另一个是一次,处理方法是先应用sin2x+cos2x=1对原式进行变形,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,将其转化成二次函数来求解。即设,先化为二次函数,再求其在闭区间上的最值。

  函数具有奇偶性,则其定义域在数轴上关于原点对称,所以判定函数的奇偶性时,应首先判断函数的定义域是否关于原点对称。在解答这道题时,也可以先化简再判断奇偶性,但在化简的过程中需要注意等价性,否则就可能会出错。

  根据已知所给的点的信息可列出两个方程,再由正弦型函数的图象特点,结合图象变换的规律可求解出各个变量的值。题目中给出的最高点与最低点确定了振幅A与竖直方向的平移量k,这是本题的突破口。求的一般方法是找到一个已知点,然后将其坐标代入即可。但当已知点不是最高点或最低点时,要特别注意应由该点所在区间的单调性来确定的取值。

  由已知可得k=-1,A=4,函数的最小正周期T有=,则T=p,=p,w=2,并有2´

  应先通过诱导公式将其转化为同名三角函数。无论哪种变换都是针对字母而言的。例如将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是,而不是,把的图象的横坐标缩小为原来的,得到的函数图象的解析式是而不是。

  7:(1)直线(a为常数)与正切曲线相交的相邻两点间的距离是 。(2)设函数

  对于一些没有直接指出三角函数最小正周期的问题,解题的关键是正确理解题意,通过运用数形结合的方法,准确找出隐含的最小正周期的个数,将问题化归为我们熟悉的正弦函数、余弦函数及正切函数的最小正周期问题加以解决。因此,正确理解题意,进行等价转化是解题的关键。函数

  (1)由正切曲线的图象可知,直线(a为常数)与正切曲线相交的相邻两点间的距离恰好就是函数的最小正周期,为。(2)由正弦曲线的图象可知,

  分别是函数的最小值、最大值,的最小值就是相邻两点间最小值、最大值横坐标之间的距离,等于函数的个周期,故的最小值

  上至少出现50次最大值,∴在区间上至少含有个周期。∴,得,故的最小值是。

  根据三角函数的周期性可知只需对自变量区间[0,2p]上的函数性质加以研究即可,再由反三角函数的性质可知应按自变量Î[0,],[,p],[p,],[,2p]四种不同的情形来求解。本题综合考查了三角函数与反三角函数的定义域、值域、单调性问题。值得注意的是虽然,,但两个式子中自变量的取值范围却不同。

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